SOSU(素数)を世界共通語に!

数字に関することを自由に書いていきます。

三角数と三角錐数

#9

 

今回は、三角数三角錐数について紹介します。

 

難しそう?

 

いいえ、全然難しくありません。どうして「三角」や「三角錐」という名前がついているかは、これから説明する内容でおわかりいただけるはずです。

 

三角数

 

三角数とは、1からnまでの自然数の和(=合計)のことです。

 

具体例は、以下の画像をごらんください。

 

f:id:NumberMania:20190803144655p:plain

形が三角形です

1+2=

1+2+3=

1+2+3+4=10

 

などは三角数です。上の図から、三角数と呼ばれる理由がおわかりいただけると思います。

 

それ以降の三角数を挙げると、

 

15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120…

 

と続きます。

 

実は、三角数は3を除いて素数ではありません。なぜなら、以下の等式が成り立つからです。高校数学の数列の授業で出てきましたね。

 

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高校数学の数列で出てきました

nとn+1のどちらかは偶数なので、n/2または(n+1) / 2が整数になります。

 

つまり、1+2+…+nはnまたはn+1の倍数になるのです。

 

実際、次のように奇数の倍数になっていることがわかります。

 

1+2=

1+2+6 → の倍数(n=3に対応)

1+2+3+10 → の倍数(n+1=5に対応)

1+2+3+4+15 → の倍数(n=5に対応)

1+2+3+4+5+21 → の倍数(n+1=7に対応)

1+2+3+4+5+6+28 → の倍数(n=7に対応)

 

三角数は、1から小さい順に数字を足していけば求めることができます。頭の体操だと思って、ぜひ計算してみてください。

 

最後に私が好きな三角数を2つ紹介します。

 

300 (1+2+…+24) → キリが良いですね。

666 (1+2+…+36) → ゾロ目です!

 

三角錐

 

もうひとつ、三角数に加えて知っていただきたいのが、三角錐です。

 

三角錐1から小さい三角数を順番に足していったものです。これも、図を見てイメージしていただければと思います。

 

f:id:NumberMania:20190803144639p:plain

三角錐を上から見ています

1、3、6は、上で紹介したように三角数でした。これらを順番に足していくと、三角錐のような形が出来上がるのです。

 

1+3=

1+3+6=10

1+3+6+10=20

 

などは三角錐数です。上の図から、三角錐数と呼ばれる理由がおわかりいただけると思います。

 

ちなみに、四角数や五角数というものもあります。

 

四角数とは、以下の図を見れば分かる通り…

 

f:id:NumberMania:20190803151749p:plain

平方数!

前回投稿した平方数です。

 

numbermania.hatenablog.com

 

四角数=平方数ということですね。当然、四角錐数もあります。

 

 

 

いかがでしたか?

 

図形をイメージすると、三角数三角錐がどういうものかがおわかりいただけたと思います。

 

これらの数も、身近にはたくさんあります。ぜひ探してみてください。

 

数字に面白さを見出しましょう!

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 

 

【補足】 

 

三角数について興味のある方は、以下のサイトがおすすめです。

 僕もこのサイトは時々見ています。

mathtrain.jp

 

Instagramもご覧ください。数字に関する投稿をしています。

 

前の記事はこちら

 

numbermania.hatenablog.com

 

次の記事はこちら

(近日公開予定)

平方数と立方数

#8

 

数には、「〇〇数」と呼ばれるものがたくさんあります。

 

もちろんこのブログではSOSU(素数)を推しているわけですが、それ以外にも面白い数はたくさんあります。

 

そこで今回から、いくつかの「〇〇数」を紹介していこうと思います。

 

(「〇〇素数」も後々紹介する予定です)

 

今回は、平方数立方数について。

 

小学校の算数の授業で、面積や体積を求めたことがあるかと思います。その際、「平方センチメートル」や「立方センチメートル」という単位が登場しましたね。それぞれ「cm」の右上に「」と「」の数字が付いています。

 

これを踏まえて説明すると、

 

平方数とは、「ある自然数2乗した数

立方数とは、「ある自然数3乗した数

 

のことです。

 

説明よりも具体例の方が理解は早いです。

 

平方数の例

 (=1×1)

 (=2×2)

 (=3×3)

16 (=4×4)

121 (=11×11)

289 (=17×17)

など

 

立方数の例

 (=1×1×1)

 (=2×2×2)

27 (=3×3×3)

64 (=4×4×4)

1331 (=11×11×11)

4913 (=17×17×17)

など

 

どんな数なのか、だいたいわかっていただけたでしょうか?

 

簡単な頭の体操になるので、皆さんもぜひ2乗や3乗の計算はやってみてください。

 

さて、この数をどうして紹介したかというと、SOSUと同様、

 

「身近にたくさん平方数や立方数が存在するから」

 

です。今回は、平方数の登場例をいくつか紹介します。

 

例1:車で道路を走っていると…

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「どこどこへ、あと何キロ」という表示が書かれている看板を見たことがあるかと思います。

 

その数字が2つとも平方数になっているのが上の写真です。

 

36=6×6

4=2×2

 

ですね。ちなみに467は素数です。

 

例2:地下鉄の案内を見たとき、

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(東京メトロのサイトより)

 

東京メトロ池袋駅と渋谷駅です。

 

路線にはそれぞれ、駅の番号が付けられています。池袋と渋谷はなんと、乗り入れている路線の駅番号がすべて平方数なのです!

 

25=5×5

9=3×3

1=1×1

16=4×4

 

ですね。このように、身近には意外とたくさんの平方数があることがおわかりいただけると思います。立方数についても同様です。

 

ここで伝えたいことは、身近で平方数を見かけたとき、

 

「あ!平方数だ!」

 

という発見をすることです。そして、そのことによって「面白い!」と感じてほしいのです。

 

日々目にする数字にちょっと注目してみるだけで、あなたの見え方は変わってくるはずです。

 

なんの変哲もないただの数字が、特別な数字に見えてきます。

 

そんな瞬間を、皆さんにも味わっていただきたいと思っています。

 

数字の面白さは色々あります。今後も自分なりに考えた面白さを、このブログで発信していきます。

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 

 

 

【補足】素数に興味を持った方へ

 

素数一覧」でググると、最初の小さい素数を調べることができます。

 

Instagramもご覧ください。数字に関する投稿をしています。

 

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なぜ素因数分解をするのか

#7

 

このブログを始めて、約3週間。

 

毎週1回は投稿できたらと思っています。まだ7回目。これからどんどん増やしていきたいです。

 

さて、今回は今までの講義のような内容は一旦やめて、私の話をしようと思います。テーマは

 

素因数分解をする理由

 

です。「素因数分解をしてみましょう〜」とか書いてるけど、この人何者なの?と思う方もいらっしゃるかもしれません。

 

僕がなぜ素因数分解をしているかを、お話しします。

 

素因数分解についての説明はこちら

numbermania.hatenablog.com

 

やはり、一番大きな理由は「数字が好きだから」ではないでしょうか。

 

数字を見ると元気になれる

 

という変わった性質を持っているため、街中で見かける数字に着目することが多いです。

 

素数に限らず、「素数」や「楔数」、そして今後投稿するであろう「平方数」や「三角数」にも着目します。

 

数字を見て楽しめることは何か?

 

そろばんをやっていて暗算が得意だったこともあり、思いついたのは素因数分解でした。

 

そろばんの全国大会では、ものすごい桁数の暗算合戦が繰り広げられます。

 

11桁÷5桁

 

の問題を瞬時に答える人も大勢いるのです。私も11桁÷5桁までは何とか計算できました(今はできません)。

 

難しい計算ばかりやっていたからこそ、素因数分解で行う「÷2」や「÷3」、「÷7」、「÷11」といった計算はとても易しいです。

 

例えば10000以下の数を素因数分解する場合、97以下の素数で割り算をすれば素因数分解できます。

 

97以下の素数は全部で25個。÷2桁であれば1、2秒あればできるので、最悪1分半くらいあれば割り算が終了します。

 

素因数分解は、私にとって「頭の体操」です。こういうことを楽しめる人もいるということを、多くの方に知っていただきたいですね。

 

素因数分解をしていて面白いのは、「分解できること」です。

 

このブログでは素数について書いていますが、素因数分解する数は素数でないほうがいいですね。

 

素数の場合、どんな素数で割り算をしても当然割れません。

 

しかし素数でない場合、意外な数で割れることがあるのです。

 

その発見がとてもおもしろくて、素因数分解って奥が深いなーと思うのです。

 

713が23で割れることを、皆さんはすぐにわかりますか?

 

3007が31で割れることを、皆さんはすぐにわかりますか?

 

よほど素因数分解をやっている人でない限り、すぐにはわかりません。でも、すぐに上記のことがわかったら、面白いと思いませんか?

 

街中で数字を見て、「実は〇〇で割れる」という事実を知る。周りの人は知らないけれど、自分だけが知っている。

 

それはある意味嬉しいことです。

 

周りの人が知らない秘密を知ってしまうようなものですね。

 

このブログでも何度か書いているように、素因数分解は数が大きいほど簡単ではありません。

 

numbermania.hatenablog.com

 

だからこそ、因数分解を瞬時にできることに達成感があるのです。

 

 

 

これ以上書くと長くなりそうなので、今回はこれくらいにしておきます。

 

最後に、素因数分解が好きになるアプリを紹介します。

 

www.panasonic.com

 

Prime Smash」というゲームです。Panasonicがすばらしいものを作ってくれました。(iOSしか対応していないのが残念です…)

 

僕は現時点(2019年7月現在)で、ハード編の最高点ランキングが全国3位です(エキスパート編は16位)。全国には僕よりもガチな素因数分解マニアがいるのです笑。

 

興味を持った方は、ぜひ遊んでみてください。

 

このブログを読んで、少しでも数字に興味を持っていただけたら嬉しいです。

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 

 

【補足】素数に興味を持った方へ

 

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半素数、楔数を知ろう

#6

 

前回は、素因数分解について説明しました。

numbermania.hatenablog.com

 

数字を素数のかけざんに分解するということでしたね。

 

前回も少し触れましたが、以下のことがわかります。

 

素数であれば、これ以上細かく素数のかけざんの形で表せない

素数でないなら、2つ以上の素数のかけざんの形で表せる

 

2、3、5、7、11といった素数は2つ以上の素数のかけざんの形には表せません。もともとの数が素数なので。

 

一方、素数でない数である4、6、8、9といった数は、2つ以上の素数のかけざんの形で表すことができます。

 

(4=2×2、6=2×3、8=2×2×2、9=3×3)

 

ここまでが復習。今回は、2つの新しい数を紹介します。が、そんなに難しくないので安心してください。

 

素数と楔数(くさびすう)です。1つずつ説明していきます。

 

★半素数

 

素数とは、「2つの素数のかけざんで表せる数」のことです。

 

上に出てきた4、6、9や、10、14、15、21などは半素数ですね。(実際に素因数分解をしてみて確かめてみましょう)

 

2つの素数は、同じ数であっても構いません。

 

★楔数

 

「くさびすう」と読みます。楔数とは、「3つの異なる素数のかけざんで表せる数」のことです。

 

僕も詳しくは知りませんが、楔数だと「異なる」という条件が必要になるのです。

 

つまり、8=2×2×2、12=2×2×3は楔数ではありません。

 

楔数の例を挙げると、

 

30=2×3×5

42=2×3×7

66=2×3×11

70=2×5×7

 

などです。かけざんに出てくる素数は全部違いますよね。

 

 

#2でも書いたように、全体の数字に占める素数の割合はそんなに高くありません。

numbermania.hatenablog.com

 

そもそも、偶数は素数ではありません。身近で見かける数字も、素数でない数が多いかもしれません。

 

そこで、今回紹介した半素数や楔数を思い出してもらいたいのです。

 

素数でなくても、半素数なのかどうか、楔数なのかどうかを確かめてみてほしいのです。

 

確かめ方は素因数分解です。頭の体操ですね!

 

数をみて、その数が

 

素数なのか

素数なのか

楔数なのか

それともそれ以外なのか

 

判定してみると面白いですよ。

 

また、今後のブログでも「〇〇素数」や「△△数」といったものをたくさん紹介していきます。

 

面白い性質の数もあるので、興味のある方は引き続きこのブログを読んでみてください。

 

この記事を見て、少しでも数字に興味を持っていただけたら嬉しいです。

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 

【補足】素数に興味を持った方へ

 

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数をSOSU(素数)のかけざんに分解しようー素因数分解

#5

 

前回まで、SOSU(素数)について説明してきました。

 

今回紹介したいのは、素因数分解です。

 

素因数分解とは、「数を素数のかけざんの形に分解すること」です。

 

2×3122×2×3と表す、といった感じです。そんなに難しくないかと思います。

 

もし、素数のかけざんに分解できたら、それ以上細かい素数のかけざんでは表せません。

 

の場合、の2つの数のかけざんで表せますが、3つや4つの数のかけざんでは表せません。

 

6=2×3

6= ◯×△×□ とは表せない。

 

1が素数ではないことに注意しましょう。

 

同様に、12も4つ以上の素数のかけざんでは表せません。

 

何はともあれ、素因数分解を理解するには実践が必要。以下の数を素因数分解してみてください。

 

14

17

36

 

素因数分解のやりかたは、小さい素数から順番に割っていきます。

 

まずは2で割れるかどうか。割れるのであれば、何回割れるのか考えます。次は3、5、7と続いていきます。

 

偶数であれば、必ず1回は2で割れますよね。

 

さて、上記の数を分解するとこんな感じになります。

 

8=2×2×2

14=2×7

17

36=2×2×3×3

 

17は素数なので、これ以上分解できません。

 

つまり、素数でない数は必ず2つ以上の素数のかけざんに分解できるのです。

 

頭の体操になりましたか?

 

では、以下の数を素因数分解してくださいと言われたら、あなたはすぐにできますか?

 

221

313

897

 

3桁になると、なかなか難しいですよね。まず、数が素数かどうかすらわかりません。

 

前回の素数判定でも書いたように、大きい数になると「素数なのかどうか」を判定するのが難しくなります。

 

numbermania.hatenablog.com

 

ちなみに上の答えは以下のようになります。

 

221=13×17

313

897=3×13×23

 

221って13で割れるのかよ、わかんねーよ!」と思った方。気持ちはよくわかります。素因数分解が難しいということをわかっていただけたのではないでしょうか?

 

大きな数になるほど、素因数分解は難しくなります。この「素因数分解の困難性」というのが、現在使われている「RSA暗号」というものに利用されているのです。

 

詳しいことは書きませんが、「素因数分解が難しいから、私たちのセキュリティーは守られている」と思っていただければ大丈夫です。

 

いかがでしたか?

 

小さい数字であれば素因数分解できそうですか?

 

身近には様々な数字があります。ときにはそういった数字に着目して、素因数分解してみるのも面白いです。ゲーム感覚でやってみてください!

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 

 

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今から始めるSOSU JUDGMENT(素数判定)

#4

 

SOSU(素数)を世界共通語にしたい

 

というモットーで始めたこのブログ。

 

ただし、SOSUに限らずあらゆる数字に興味を持ってもらいたいのが本音です。

 

今後はSOSU以外のことも書いていく予定ですので、お楽しみに。

 

さて、

 

今回は

 

SOSU JUDGMENT(素数判定)

 

について書いていきます。言葉が難しそうですが、そんなに踏み込んだ話はしません。この記事を読み終わったときに、

 

よし、これから素数判定してみよう!

 

と思っていただけるように書いていきます。

 

そもそも素数判定とは何かというと、言葉の通り

 

数が素数かどうかを判定すること

 

です。

 

突然ですが、7は素数ですか?

 

一方で、10は素数ですか?

 

正解は、7は素数で10は素数ではありません。

(10が素数ではない理由は、1と10以外に2と5を約数に持つからです。)

 

このように素数かそうでないかを確かめることが素数判定なのです。わかりましたか?

 

ただし、数が大きくなると素数判定は難しくなります。

 

例えば、

 

221は素数ですか?

 

と聞かれて、あなたはすぐに答えることはできますか?

(正解は素数ではありません。)

 

このように、数が3桁や4桁と大きくなっていくにつれて素数判定は難しいことがおわかりいただけると思います。

 

「じゃあ、素数判定なんてしなくていいじゃん」

 

と思うかもしれませんが、実は

 

素数かどうかをすぐに判定できる方法がいくつかあります。

 

今回はその中の一つとして、3の倍数判定を紹介します。

 

まず、結論から書くと、

 

各桁の数字の和が3の倍数なら、元の数も3の倍数

 

ということ。

 

18であれば、各桁の数字を足すと1+8=9となり、9は3の倍数です。

 

よって、18は3の倍数であることがわかります。

 

普通、素数判定の際は割り算をしていく必要がありますが、3の倍数判定なら足し算をすればいいのです。難易度は低くなるのです。

 

練習問題をいくつか。以下の数は3の倍数でしょうか。

 

57

61

89

141

33331

 

上に書いたように、足し算をすれば3の倍数か判定できます。

 

5+7=12 → 3の倍数 → 57は3の倍数

6+1=7 → 3の倍数でない → 61は3の倍数でない

8+9=17 → 17は3の倍数でない → 89は3の倍数でない

1+4+1=6 → 6は3の倍数 → 141は3の倍数

 

最後の33331は3が4つあります。それらの和が3の倍数になるので、残りの1を足すと3の倍数ではなくなります。よって、33331も3の倍数ではありません。

 

3+3+3+3+1=13 青の太字部分が3の倍数

→ 33331は3の倍数でない

 

いかがでしたか?

 

3の倍数かどうかを判定するのは、そんなに難しくありません。

 

ぜひ、身近で見かけた数字を3の倍数か判定してみてください。

 

ちょっとした足し算の問題なので、頭の体操になるはずです。

 

他にも、9の倍数や11の倍数などの判定法もあります。興味のある方は調べてみてください。

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 

 

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あなたの誕生日はSOSU(素数)ですか?

#3

 

前回、素数を見つけたらラッキーであることを書きました。

 

numbermania.hatenablog.com

 

身近には数字がたくさんあります。そこに面白さを見出そうというのが、このブログの目的です。

 

さて、突然ですが、

 

あなたの誕生日はSOSU(素数)ですか?

 

「は?」と思う方が多いかと思います。説明しましょう。

 

日付を3桁あるいは4桁の数と考え、その数が素数かどうかを考えてみてほしいのです。

 

たとえば、

 

10月23日は1023

 

1月6日であれば106

 

といったぐあいです。ルールはわかりましたか?

 

とはいえ、3桁の数が素数かどうかはすぐにはわかりません。そこで、日付が素数なものを以下に列挙します。ご自身の誕生日が書かれているかどうか、確かめてみてください。

 

1月 101、103、107、109、113、127、131

 

2月 211、223、227、229

 

3月 307、311、313、317、331

 

4月 401、409、419、421

 

5月 503、509、521、523

 

6月 601、607、613、617、619

 

7月 701、709、719、727

 

8月 809、811、821、823、827、829

 

9月 907、911、919、929

 

10月 1009、1013、1019、1021、1031

 

11月 1103、1109、1117、1123、1129

 

12月 1201、1213、1217、1223、1229、1231

 

誕生日は上記に含まれていたでしょうか?

 

日付が偶数であったり下一桁が0や5の場合は、確実に素数ではないため残念ですね。

 

さて、

 

1年間366日(ただし2月29日を含む)のうち、素数である日付は何日あるかというと、

 

59日

 

です(59も素数)。

 

つまり、誕生日が素数である確率は、

 

59÷366≒0.16

 

すなわち、たった16%なのです!

 

よって、誕生日が素数な方はラッキーであると言えるでしょう笑。

(ここでまたラッキーであることを触れておきました)

 

とはいえ、前回の記事で書いたように1000以下の数が素数である確率は17%なので、このパーセントが極端に低いわけではありません。

 

numbermania.hatenablog.com

 

 

誕生日を例に取り上げましたが、年齢についても同じように考えることができます。つまり、

 

あなたの年齢はSOSU(素数)ですか?

 

と。もうしつこいので、詳しくは書かないことにします。

 

日付と違って、年齢の場合は基本2桁なので、素数かどうかは判定しやすいです。興味がある方は各自確かめてみましょう。

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 

 

 

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